Transformasi Geometri

September 20, 2023 Posting Komentar

Dalam pelajaran matematika, transformasi geometri posisi awal bidang dinotasikan dengan (x, y) dan posisi akhir dinotasikan dengan (x’,y’). Selanjutnya kita akan bahas beberapa jenis transformasi geometri.

Ada empat jenis transformasi geometri yang akan dibahas yaitu:

Translasi (pergeseran)
Refleksi (pencerminan)
Rotasi (perputaran)
Dilatasi (perkalian)

1. Translasi

Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Arah dan jarak tertentu itu ditentukan oleh suatu vektor atau ruas garis berarah. Simbol dari suatu vektor adalah adanya tanda panah diatas huruf kapital. Contoh vektor AB ditulis menjadi (→AB).

Dari gambar diatas Quipperian dapat melihat bahwa adanya suatu titik P yang memiliki koordinat (x,y) berwarna biru digeser menjadi P’ (titik merah), lalu digeser lagi kearah P’’ (titik hijau)? Pertanyaanya, bagaimana cara menghitung pergeseran dari titik biru ke titik merah dan titik yang hijau? Rumus translasinya adalah sebagai berikut.

Terlihat dari rumus diatas, bahwa T = ( a b ) adalah pergeseran nilai yang diberikan kepada titik biru sejauh a meter terhadap titik horizontal dan b meter terhadap titik vertikal.

2. Refleksi

Refleksi (pencerminan) adalah transformasi setiap titik pada bangun geometri itu terhadap sebuah garis tertentu yang bertindak sebagai sumbu cermin. Refleksi harus mempunyai sumbu cermin atau acuannya terhadap garis tertentu. Acuannya bisa berbagai macam yaitu pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap sumbu x, pencerminan terhadap garis y = x, pencerminan terhadap garis y = -x, pencerminan terhadap titik O(0,0), dan pencerminan terhadap titik sembarang (y = k). Gambar pencerminan dari titik acuannya dapat dilihat di bawah ini:

Rumus untuk menentukan transformasi refleksi terhadap sumbu X adalah sebagai berikut:

Rumus transformasi refleksi terhadap sumbu Y dapat ditulis sebagai berikut:

Rumus transformasi refleksi terhadap garis y = x dapat ditulis sebagai berikut:

Rumus transformasi refleksi terhadap garis y = -x adalah sebagai berikut:

Rumus transformasi refleksi terhadap garis O(0,0) dapat ditulis sebagai berikut:

Transformasi refleksi terhadap garis y = k (k dapat bernilai sembarang) adalah sebagai berikut:

3. Rotasi

Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan proses memutar sembarang titik lain terhadap titik tertentu. Suatu rotasi ditentukan oleh tiga buah unsur yaitu:

Titik pusat rotasi (apakah acuannya adalah sumbu koordinat O(0,0) atau acuannya titik sembarang P(m,n).
Besar sudut rotasi menentukan jauhnya rotasi. Ukuran sudut rotasi dapat ditentukan dalam derajat (⁰), radian (rad), atau bilangan pecahan terhadap satu putaran penuh.
Arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan mempunyai arah positif (+), jika rotasi itu berlawanan dengan arah jarum jam, sedangkan rotasi dikatakan mempunyai arah negatif (-), jika rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.

Rumus untuk menentukan rotasi dari gambar di atas dapat dinyatakan dalam sebuah matriks sebagai berikut:

Dimana x’ adalah hasil rotasi terhadap titik x, y’ adalah hasil rotasi terhadap titik y, sedangkan x adalah titik awal horizontal dan titik y adalah titik awal vertikal.

Rumus untuk menentukan rotasi terhadap pusat yang sembarang (m,n) adalah sebagai berikut:

4. Dilatasi

Dilatasi (perbesaran/pengecilan atau perkalian) adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun geometri, tetapi tidak mengubah bentuk bangun geometri itu. Nilai suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor skalanya (faktor dilatasi). Dilatasi yang berpusat di titik asal O(0,0) dan di titik sebarang P (a,b) dengan masing-masing faktor skala k disimbolkan berturut-turut dengan [O,k] dan [P,k]. Faktor skalanya juga dapat ditulis ke dalam bentuk matriks. Bentuk persamaan transformasi dilatasi adalah sebagai berikut: